已知实数A、B、C满足A^2+B^2=2C^2,求证直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2=1交于不同两点P、Q,并求
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y=-ax/b-c/b,
P、Q是直线与圆的交点,故应同时满足两个方程的解,
代入圆方程,
x^2+(-ax/b-c/b)^2=1,
b^2x^2+a^2x^2+2acx+c^2-b^2=0,
(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2=0,
a^2+b^2=2c^2,
2c^2x^2+2acx+a^2-c^2=0,
当直线与圆相交时,则二次方程判别式大于0,相切时判别式为0（有两个切点）,
△=4a^2c^2-8c^2(a^2-c^2)
=4c^2(2c^2-a^2)
=4c^2b^2≥0,
故直线和圆或相交,或相切.
设P（x1,y1),
Q(x2,y2),
根据韦达定理,
x1+x2=-a/c,
x1x2=(a^2-c^2)/(2c^2),
根据弦长公式,
|PQ|=√（1+k^2)(x1-x2)^2,
其中k为直线斜率,k=-a/b,
|PQ|=√(1+a^2/b^2)[((x1+x2)^2-4x1x2]
=(1/b)√(a^2+b^2)[a^2/c^2-4(a^2-c^2)/(2c^2)]
=(1/b)√(2c^2)[(4c^2-2a^2)/(2c^2)]
=(1/b)√2(2c^2-a^2)
=(1/b)√2*√(b^2)
=√2.
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