下列四个结论：①幂函数y=xα的图象与直线y=x可能有三个交点；②若b≤0，则函数y=ax+b-1（a＞0，a≠1）的图
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解题思路：①：可举例验证①是否正确
②：分类讨论a的范围，结合指数函数的图象变换可验证②是否正确
③：把
x
1
2
−
x
−
1
2
平方后，化简，再开方，可验证③是否正确
④：把条件转化，即得mx2+4mx+3≠0在R上恒成立，分类讨论，可得m的范围，即可验证④是否正确
对于①：y=x3与y=x有三个交点∴①正确
对于②：当a＞1时，图象过第一象限∴②不正确
对于③：∵x+x-1=3
∴(x
1
2−x−
1
2) 2＝x+x−1−2＝3−2＝1
∴x
1
2−x−
1
2＝± 1
∴③不正确
对于④：∵y＝
x−4
mx2+4mx+3的定义域为R
∴mx2+4mx+3≠0对x∈R恒成立
∴当m=0时，得3≠0，显然成立，∴m=0符合题意
当m≠0时，由题意知
m＞0
16m2−13m＜0
解得0＜m＜
3
4
∴当原函数定义域为R时，m的取值范围为[0，
3
4)
∴④正确
综上所述，正确的结论有①④
故选A
点评：
本题考点： 指数函数的图像与性质；二次函数的性质．
考点点评： 本题考查指数函数、幂函数的图象，指数运算以及函数定义域问题，要求对指数函数幂函数的图象及图象变换熟练掌握，对恒成立问题要注意分类讨论．属简单题
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