设数列{an}与{bn}满足:对任意n∈N+,都有ban-2n=(b-1)Sn,bn=an-n•2n-1.其中Sn为数列
1个回答

解题思路:(1)由已知利用an=Sn+1-Sn可得

a

n+1

=b

a

n

+

2

n

.当b=2时,可化为

a

n+1

−(n+1)•

2

n

=

2(

a

n

−n•

2

n−1

)

,利用等比数列的通项公式即可得出bn及an

(2))当b≠2时,由①得

a

n+1

1

2−b

2

n+1

=b(

a

n

1

2−b

2

n

)

,转化为一个等比数列,利用通项公式和前n项和公式即可得出an及Sn

由题意知a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,ban+1−2n+1=(b−1)Sn+1.

两式相减得b(an+1−an)−2n=(b−1)an+1,

即an+1=ban+2n.①

(1)当b=2时,由①知an+1=2an+2n,

∴an+1−(n+1)•2n=2an+2n−(n+1)•2n=2(an−n•2n−1),

又a1−1×21−1=2−1=1≠0,

所以{an−n•2n−1}是首项为1,公比为2的等比数列.

可得,bn=2n−1,

由bn=an−n•2n−1,得an=(n+1)•2n−1.

(2)当b≠2时,由①得

an+1−

1

2−b•2n+1=ban+2n-[1/2−b•2n+1=ban−

b

2−b•2n=b(an−

1

2−b•2n)

若b=0,an=

2,n=1

2n−1,n≥2],Sn=2n;

若b=1,an=2n,Sn=2n+1−2;

若b≠0,1,数列{an−

1

2−b•2n}是以

2(1−b)

2−b为首项,以b为公比的等比数列,

故an−

1

2−b•2n=

2(1−b)

2−b•bn−1,

∴an=

1

2−b[2n+(2−2b)bn−1],

∴Sn=[1/2−b(2+22+23+…+2n)+

2(1−b)

2−b(1+b+b2+…+bn−1)

=

1

2−b×

2(2n−1)

2−1+

2(1−b)

2−b×

bn−1

b−1]

=

2(2n−bn)

2−b

当b=1时,Sn=2n+1−2也符合上式.

所以,当b≠0时,Sn=

2(2n−bn)

2−b.

点评:

本题考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和.

考点点评: 适当变形转化为等比数列,熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键.注意分类讨论的思想方法应用.