设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明A+B的特征值全大于a+b．
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解题思路：首先要理解正定矩阵的定义，然后利用特征值，特征向量满足AX=λX进行证明即可．

解．

因为：实对称矩阵A的特征值全大于a，

所以：A-aE为正定阵；

同理：A-bE为正定阵．

从而：（A-aE）+（A-bE）为正定阵．

假设λ为A+B的任一特征值，相应的特征向量为x，

即 （A+B）x=λx，

于是：

[（A-aE）+（B-bE）]x=（A+B）x-（a+b）Ex=（λ-（a+b））x，

所以：λ-（a+b）为（A-aE）+（A-bE）的特征值，

又因为：（A-aE）+（A-bE）为正定阵，

所以：λ-（a+b）＞0，

即 λ＞a+b，证毕．

点评：

本题考点： 正定矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 本题主要考查正定矩阵和实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，解类似题时需灵活运用其性质．

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