已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，M为BC的中点，∠ABC=2∠ACB．
2个回答
解题思路：（1）首先证明根据直角三角形的性质可得DN=[1/2]AC=NC，再根据三角形中位线定理可得MN=[1/2]AB，且MN∥AB，再证明∠MDN=∠MND，根据等角对等边DM=MN，进而得到DM=[1/2]AB；
（2）取AC的中点N，连接DN，MN，证法与（1）类似．
（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=[1/2]AC=NC，
∴∠NDC=∠ACD，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=[1/2]AB，且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠DNC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
∴∠MDN=∠MND，
∴DM=MN．
∴DM=[1/2]AB；
（2）DM=[1/2]AB仍然成立，
理由如下：取AC的中点N，连接DN，MN．
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=[1/2]AC=NC．
∴∠NDC=∠ACD．
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=[1/2]AB且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠NDC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
即2∠NDM=∠NDM+∠DNM，
∴∠NDM=∠DNM，
∴DM=MN，
∴DM=[1/2]AB．
点评：
本题考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
考点点评： 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
相关问题
