如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C

运动，速度为1cm/s，Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们的运动时间为x（s）．

①求x为何值时，PQ⊥AC？

②当0＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，请说明理由；

③探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应的位置关系的x的取值范围（不要求写过程）

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2个回答

解题思路：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；

（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；

（3）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．

（1）[4/5]，

当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，

当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4-x=2×2x，

∴x=[4/5]；

（2）当0＜x＜2时，在Rt△QPC中，QC=2x，∠C=60°；

作QN⊥BC于N

∴NC=x，

∴BP=NC=x，

∴BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QP⊥BC，

∴AD∥QP，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，

当x=[4/5]或 [16/5]时，以PQ为直径的圆与AC相切，

当0≤x＜[4/5]或 [4/5]＜x＜[16/5]或 [16/5]＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系；等边三角形的性质．

考点点评： 此题综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度中等．

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