已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,且g(n)=(1/(f(n)-1))(f(1)+f(x)+...+f(
2个回答
f(1)=1
f(2)=1+1/2=3/2,g(2)=(1/(f(2)-1))(f(1))=(1/(3/2-1))·1=2
f(3)=1+1/2+1/3=11/6,g(3)=(1/(f(3)-1))(f(1)+f(2))=(1/(11/6-1))·(1+3/2)=(6/5)×(5/2)=3
f(4)=1+1/2+1/3+1/4=25/12,g(4)=(1/(f(4)-1))(f(1)+f(2)+f(3))=(1/(25/12-1))·(1+3/2+11/6)=(12/13)×(26/6)=4
猜测g(n)=n
假设n=k时结论成立,g(k)=k,即(1/(f(k)-1))·(f(1)+f(2)+...+f(k-1))=k
于是f(1)+f(2)+...+f(k-1)=(f(k)-1)·k
当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+1/(k+1),f(k+1)-1=f(k)+1/(k+1)-1=f(k)-k/(k+1)=[(k+1)f(k)-k]/(k+1)
g(k+1)=[1/(f(k+1)-1)]·[f(1)+f(2)+...+f(k)]=[(k+1)/((k+1)f(k)-k)]·[(f(k)-1)·k+f(k)]
=[(k+1)/((k+1)f(k)-k)]·[(k+)f(k)-k]=k+1
结论也成立.
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