已知函数f(x)＝2|x+m−1|x−4，m＞0，满足f（2）=-2，
1个回答
解题思路：（1）利用f（2）=-2即m＞0即可求出；（2）利用（1）先求出其解析式及单调区间，再利用定义证明即可；（3）通过对x分别就x＞0、x=0、x＜0三种情况的解的情况讨论即可．
（1）由f（2）=-2，m＞0⇒
2|1+m|
−2＝−2，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴f(x)＝
2|x|
x−4．
因此只研究函数f（x）=
2|x|
x−4=[2x/4−x]在区间（-∞，0]上的单调性即可．
此函数在区间（-∞，0]上单调递增．
证明：设x1＜x2≤0，
则f（x1）-f（x2）=
2x1
4−x1−
2x2
4−x2=
8(x1−x2)
(4−x1)(4−x2)，
∵x1＜x2≤0，∴x1-x2＜0，4-x1＞0，4-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（-∞，0]上单调递增．
（3）原方程即为
2|x|
x−4＝kx（*）
①当x=0时，方程成立，即x=0是方程（*）的一个实数根；
②当x＜0时，方程（*）⇔[−2/x−4＝k，x＜0⇔x＝4−
2
k]＜0⇔0＜k＜
1
2，
即当0＜k＜
1
2时，方程（*）在区间（-∞，0）有唯一一个实数根，此外无解；
③当x＞0且x≠4时，方程（*）⇔[2/x−4＝k，x＞0且x≠4⇔x=4+
2
k]＞0，解得k＜−
1
2或k＞0．
∴k∈(−∞，−
1
2)∪(0，+∞)时，方程（*）在区间（0，+∞）有一个实数根，此外无解．
综上可知：要使原方程有三个不同实数根，当且仅当k满足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一个实数解时才成立，此时，k∈(0，
1
2)．
∴实数k的取值范围为(0，
1
2)．
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 熟练掌握函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键．
相关问题
