已知函数f（x）=lnx-[x−1/x]，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？
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解题思路：假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．
假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-
x0−1
x0），
∴切线方程：y+1=
x0−1
x02（x-1），将点T坐标代入得：lnx0-
x0−1
x0=
(x0−1)2
x02，
即lnx0+[3
x0-
1
x02-1=0，①
设g（x）=lnx+
3/x]-[1
x2-1，则g′（x）=
(x−1)(x−2)
x3．
令g'（x）=0，则x=1或x=2．
x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
∴g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值g（2）=ln2+
1/4]，
∴g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．
∵g（[1/4]）=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，
根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，
故符合条件的切线有且仅有一条．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了导数的应用，考查利用导数研究函数单调区间，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．
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