求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方 - 已解决

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

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解题思路：这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²

已知：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，

求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²

证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，

则∠AEB=∠DFC=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∴△ABE≌△DCF，

∴AE=DF，BE=CF．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得

AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，

BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，

∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．

又∵AE²+BE²=AB²，

即：AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

∵AB=CD，AD=BC，

∴AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²

点评：

本题考点：平行四边形的性质；勾股定理．

考点点评：这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．此题主要考查学生对勾股定理，平行四边形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．

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