如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值
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∵△PAC是等腰RT△,
∴PA=AC=2,PC=2√2,
∵PA⊥平面ABC,AB∈平面ABC,
∴PA⊥AB,
∴△PAB是RT△,PB=√5 ,
∵△ABC是RT△,
BC=√3,
∵PA⊥平面ABC,PA∈平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
从B作BH⊥AC,垂足H,连结PH,则BH⊥平面PAC,
△PHC是△PBC在平面PAC上的投影,
设二面角A-PC-B平面角为θ
S△PHC=S△PBC*cosθ,
在RT△ABC中,
AB^2=AH*AC,(RT△直角边是其在斜边的射影和斜边的比例中项）,
AH=1/2,CH=3/2,
S△PHC=CH*PA/2=3/2,
BC⊥AB,根据三垂线定理,
BC⊥PB,
△PBC是RT△,
S△PBC=PB*BC/2=√5*√3/2=√15/2,
cosθ=S△PHC/S△PBC=（3/2）/（√15/2）=√15/5,
∴sinθ=√[1-{cosθ)^2]=√10/5.
二面角A-PC-B的正弦值√10/5.
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