如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值

如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值

下午最好出来,

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∵△PAC是等腰RT△,

∴PA=AC=2,PC=2√2,

∵PA⊥平面ABC,AB∈平面ABC,

∴PA⊥AB,

∴△PAB是RT△,PB=√5 ,

∵△ABC是RT△,

BC=√3,

∵PA⊥平面ABC,PA∈平面PAC,

∴平面PAC⊥平面ABC,

从B作BH⊥AC,垂足H,连结PH,则BH⊥平面PAC,

△PHC是△PBC在平面PAC上的投影,

设二面角A-PC-B平面角为θ

S△PHC=S△PBC*cosθ,

在RT△ABC中,

AB^2=AH*AC,(RT△直角边是其在斜边的射影和斜边的比例中项）,

AH=1/2,CH=3/2,

S△PHC=CH*PA/2=3/2,

BC⊥AB,根据三垂线定理,

BC⊥PB,

△PBC是RT△,

S△PBC=PB*BC/2=√5*√3/2=√15/2,

cosθ=S△PHC/S△PBC=（3/2）/（√15/2）=√15/5,

∴sinθ=√[1-{cosθ)^2]=√10/5.

二面角A-PC-B的正弦值√10/5.

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