已知(√x-2/x^2)^2(n∈N*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数的比是10:1
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(√x-2/x^2)^n

第五项

T5=C(n,4)(√x)(n-4)(-2/x^2)^4

系数=C(n,4)*(-2)^4

第三项

T3=C(n,2)(√x)(n-2)(-2/x^2)^2

系数=C(n,2)*(-2)^2

系数的比

=C(n,4)*(-2)^4:C(n,2)*(-2)^2

=(n-2)(n-3)/3:1

=10:1

∴(n-2)(n-3)/3=10

n^2-5n-24=0

(n-8)(n+3)=0

n=8

(√x-2/x^2)^8

(1)求展开式中的各项系数之和

令x=1

展开式中的各项系数之和=(1-2)^8=1

(2)求展开式中含x^3/2的项

T(k+1)=C(8,k)(√x)^(8-k)(-2/x^2)^k

(8-k)/2-2k=3/2

k=1

T2=8*(-2)x^(3/2)

=-16x^(3/2)

(3)求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项

二项式系数最大项

∵n=8是偶数

∴k=n/2=4

二项式系数最大项是第k+1项即第5项

展开式中系数最大的项

T(k+1)=C(8,k)(-2)^k

只有奇数项系数才能是正数

∴k+1=1,3,5,7,9中选出

即k=0,2,4,6,8,

只需比较后3者即可

C(8,4)2^4=70*2^4=1120

C(8,6)2^6=28*2^6=1792

C(8,8)2^8=2^8=256

∴第7项系数最大

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