特征值证明问题设n阶矩阵A=（a ij）的特征值为λ1,λ2,λ3……λn①λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+
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A的特征值 λ1,λ2,λ3……λn 是 A 有特征多项式 f(λ) = |A-λE| 的根.

即有 f(λ) = |A-λE| = (λ1-λ)(λ2-λ).(λn-λ) = (-λ)^n + (λ1+λ2+...+λn)(-λ)^(n-1) + ...+ λ1λ2...λn

行列式 |A-λE| 中出现 λ^(n-1) 的项 只有对角线上n个元素的乘积,即

在 (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) 中.

且 (-λ)^(n-1) 的系数就是 a11+a22+...+ann

所以有 ① λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+ann.

②的证明也是一样.λ=0时就是多项式的常数项.

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