（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F

（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，

CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．

说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．

（1）m=1（如图2）

（2）m=1，k=1（如图3）

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解题思路：过点E作EM⊥AB，EN⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFM与△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根据平行线分线段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM与EN，再利用∠A的正切值即可求出．

过E作EM⊥AB，EN⊥CD，

∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，

∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，

∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（对顶角相等）

∴∠EFM=∠EGN，

∴△EFM∽△EGN，

∴[EF/EG＝

EM

EN]，

在△ADC中，

∵EM∥CD，

∴[EM/CD＝

AE

AC]，

又CE=kEA，

∴AC=（k+1）AE

∴CD=（k+1）EM，

同理[EN/AD＝

CE

AC]，

∴AD=[k+1/k]EN，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC

tanA=[CD/AD＝

BC

AC]=[1/m]，

即

(k+1)EM

k+1

KEN=[1/m]，

∴[EM/EN＝

1

km]，

∴EF=[1/km]EG．

点评：

本题考点： 平行线分线段成比例；勾股定理．

考点点评： 本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．

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