甲乙丙三人比赛,规定每局两人比赛,胜者与第三人比赛,依此循环,直至有一人连胜两次,此人为冠军,而每次比赛双方圣的概率都是
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首局分析法
A表示甲最终赢,B表示乙最终赢,C表示丙最终赢.
甲乙先比.
由全概公式可知：
P(A)=P(A|甲赢第一局)*P(甲赢第一局)+P(A|甲负第一局）*P(甲负第一局)
P(A|甲赢第一局)表示在先赢一局的情况下甲获胜的概率.如果他再赢一局就已经赢了.但是如果下一局输了,那么后一局丙必须输给乙（否则丙已经获胜）,那么第四局甲必须赢乙（否则乙已经获胜）此时情况和甲先赢一局的状况相同.
因此我们有,P(A|甲赢第一局) = P(甲赢下一局）+ P(丙赢下一句）*P(乙赢下一局）*P(甲赢下一局）*P(A|甲赢第一局)
=1/2+1/2*1/2*1/2*P(A|甲赢第一局）
由此解得,P(A|甲赢第一局)=4/7
同理,如果甲输了第一局,那么下一局乙必须输给丙,后一局丙必须输给甲.此时的情况又和甲先赢一局时相同.
因此,P(A|甲负第一局）= 1/2*1/2*P(A|甲赢第一局) = 1/2*1/2*4/7 = 1/7
那么带回原公式可知
P(A) = 1/2*4/7 + 1/2*1/7 = 5/14
乙和甲地位平等,所以P(B)=P(A)=5/14
而丙为P(C)=1-P(A)-P(B)=4/14=2/7
综上,甲乙获胜概率为5/14,丙获胜概率为4/14
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