直线L过点P(1,4),分别交X轴的正方向和Y轴的正方向于A、B两点.
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(1)设直线L的截距式方程是x/a+y/b=1

则A的坐标是(a,0),B的坐标是(0,b)

|PA|=a,|PB|=b

因为直线过点P(1,4),代入点的坐标得

1/a+4/b=1

由均值不等式得

1≥2√[(1/a)(4/b)]

1≥4√(1/ab)

1/ab≤1/16

ab≥16,当1/a=4/b=1/2,a=2,b=8时取等号

即|PA|*|PB|在a=2,b=8时取最小值

此时直线L的方程是x/2+y/8=1

化为一般式是y=-4x+8

(2)因为上问中已经证明ab≥16,所以最小值为16

又因为a+b≥2√ab,所以a+b最小为8 列方程组

a+b=8 解得a=b=4,根据拮据式x/a+y/b=1,得y=4-x

{

ab=16

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