已知过点P（1，2）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：

已知过点P（1，2）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：

（1）y轴上的截距是x轴上的截距的两倍时直线的方程；

（2）|PA|•|PB|取最小值时直线的方程．

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解题思路：（1）设所求直线的方程为

x

a

+

y

2a

＝1

，代入点P的坐标可解得a的值，可得方程；（2）设所求直线的方程为y-2=k（x-1），由题意知k＜0，分别令x=0，y=0可得A、B的坐标，进而可得|PA|2•|PB|2的表达式，由基本不等式可得．

（1）设所求直线的方程为

x

a+

y

2a＝1，

即2x+y-2a=0，

∵直线过点P（1，2），

∴2×1+2-2a=0，

解得a=2，

∴所求直线的方程为2x+y-4=0

（2）设所求直线的方程为y-2=k（x-1），由题意知k＜0，

令x=0可得y=2-k，令y=0可得x=1-[2/k]，

即A（1-[2/k]，0），B（0，2-k）

∴|PA|2•|PB|2=[(−

2

k)2+4][1+（-k）2]

=8+4k2+

4

k2≥8+2

4k2•

4

k2=16

当且仅当4k2＝

4

k2，即k=-1时取等号，

∴|PA|•|PB|取最小值4时，直线的方程为x+y-3=0

点评：

本题考点： 直线的截距式方程；基本不等式．

考点点评： 本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用．

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