定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx
2个回答

∫[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)

=∫ln(1+sinz/cosz)dz

=∫ln[(sinz+cosz)/cosz]dz

=∫[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz

=∫ln(sinz+cosz)dz-∫ln(cosz)dz

=∫ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz

=∫ln(√2)dz+∫ln[sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz

=(π/4)ln(√2)+∫ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫ln(cosz)dz

(在第二个积分中,令z=π/4-y)

=πln2/8+∫ln(cosy)dy-∫ln(cosz)dz

=πln2/8+∫ln(cosz)dz-∫ln(cosz)dz

(在第一个积分中,令z=y)

=πln2/8

相关问题