已知圆x∧2+y∧2=25,三角形ABC内接于此圆,A(3,4),O为坐标原点.
1个回答
1.设△ABC重心是P(5/3,2),连接AP,其延长线交BC于D,连接OD
由重心定义可知：D为BC中点,由圆的性质知：OD⊥BC(圆的直径若平分一条普通弦,则其必然垂直于这条普通弦)
设B(x1,y1),C(x2,y2)
结合A(3,4),利用三角形重心公式,可得：
(x1+x2+3)/3=5/3
(y1+y2+4)/3=2
x1+x2=2,y1+y2=2 ①
设D的坐标是D(x,y),D为BC中点,由中点公式有：
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
将①代入,可得：
x=1,y=1
故D(1,1)
直线OD的斜率为:kOD=(1-0)/(1-0)=1
∵OD⊥BC
∴kBC=-1/kOD=-1
于是,结合kBC=-1,BC上的点D(1,1),由点斜式可得BC方程为：
y-1=-1*(x-1)
y=-x+2
2.请楼主做出示意图,直接用几何方法做最好!
过A作AE⊥x轴,交圆x^+y^=25于点E
由于圆x^+y^=25是关于x轴对称的,根据垂直弦的性质,可轻易得知E点为A点关于x轴的对称点,易求得：E(3,-4)
直线AB与直线AC倾斜角互补,意味着kAB=-kAC
而AE⊥x轴,则AE‖y轴,根据斜率的几何含义,易判断出AC与AB关于AE对称,即：∠CAE=∠BAE
在圆中,∠CAE为弧CE所对圆周角,∠BAE为弧BE所对圆周角
根据“等弧对等圆周角”这条定理的逆定理,可知：弧CE=弧BE,即CE=BE
∴E为BC中垂线上的点
连接OE,OC,OB
∵OC,OB均为圆半径
∴OC=OB
∴O也是BC中垂线上的点
∴OE即为BC中垂线
OE⊥BC
而kOE=(-4-0)/(3-0)=-4/3
∴kBC=-1/kOE=-1/(-4/3)=3/4
即,直线BC的斜率总为定值3/4
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