如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则limn→∞n3Sn=__
2个回答
解题思路：设第n个数为an，观察图中的数据可得a1=1，a2-a1=2，a3-a2=3…an-an-1=n，利用叠加法可求an，然后利用分组求和，等差数列的和公式可求Sn，，代入所求式子可求极限．
设第n个数为an，
则a1=1
a2-a1=2
a3-a2=3
a4-a3=4
…
an-an-1=n
叠加可得，an-a1=2+3+4+…+n
∴an=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2=[1/2(n2+n)
∴Sn=a1+a2+…+an=
1
2(12+1+22+2+…+n2+n)
=
1
2[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=
1
2×
1
6n(n+1)(2n+1)+
1
2×
n(n+1)
2]
=
n(1+n)(n+2)
6
∴
lim
n→∞
n3
Sn=
lim
n→∞
6n2
n2+3n+2=
lim
n→∞
6
1+
3
n+
2
n2=6
故答案为：6
点评：
本题考点： 数列的极限．
考点点评： 本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，分组求和的求和方法及数列极限的求解，属于综合性试题．
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