数学四边形证明题：三点一线和平行
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推荐使用面积法.
简便起见,在等式中就用△ABC来表示△ABC的面积.
首先借用你的图看一个面积法的基本图形.
△ABC与△ADC有公共的底边AC,因此面积比等于AC边上的高之比,
即B,D到AC的距离比,进而等于BO:DO.
于是得到结论:△ABC:△ABC = BO:DO.
这个图形有一些变化,比如B,D在AC的同侧,或者A,C在BD的同侧,结论都是成立的.
以下多次用到这个图形,就不特别注明了.
(1) 用同一法,连GH,分别交AC,BD于O1,O2,证明O1 = O2.
只要证明GO1:HO1 = GO2:HO2.
GO1:HO1 = △AGC:△AHC.
而△AGC:△AGB = CF:BF, △AHC:△DHC = AE:DE.
代入得GO1:HO1 = CF/BF·△AGB /(AE/DE·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC.
另一方面,GO2:HO2 = △BGD:△BHD.
而△BGD:△AGB = DE:AE, △BHD:△DHC = BF:CF.
代入得GO2:HO2 = DE/AE·△AGB /(BF/CF·△DHC) = CF/BF·DE/AE·△AGB /△DHC.
因此GO1:HO1 = GO2:HO2,O1 = O2 = O,证毕.
注:这个结论是Pappus定理.
(2) 没有其它条件的话,这一问的结论是不对的,见下图.
MN明显与PQ不平行.
请检查你的题目来源.
