求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里
1个回答

令J是0对应的n阶Jordan块,即

J=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

那么题目里的矩阵就是

A=(x-1)I+(I-J)^{-1}

用二项式定理可得

A^n = sum_{k=0..n} C_n^k (x-1)^{n-k}(I-J)^{-k}

用Taylor公式展开(I-J)^{-k},并注意J^n=0得

(I-J)^{-k} = sum_{s=0..n} C_{s+k}^s J^s

交换一下求和次序得到

A^n = sum_{k=0..n} sum_{s=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}J^s

= sum_{s=0..n} [sum_{k=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}] J^s

J^s项的系数就是A^n的第s条对角线的元素大小

大致是这个方法,如果计算有问题的话你自己修正

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