同济大学《高等数学》上册第5版P209例9即是
用的是分部积分法
假设∫dx/(x方+a方)的n次幂=Jn
J(n-1)=x/(x方+a方)的n-1次幂-2(1-n)∫x方dx/(x方+a方)的n次幂
=x/(x方+a方)的n-1次幂+2(n-1)∫[x方+a方-a方]dx/(x方+a方)的n次幂
=x/(x方+a方)的n-1次幂+2(n-1)∫[1/(x方+a方)的n-1次幂-a方/(x方+a方)的n次幂]dx
=x/(x方+a方)的n-1次幂+2(n-1)[J(n-1)-a方Jn]
得到递推公式Jn=1/[a方2(n-1)]*[x/(x方+a方)的n-1次幂+(2n-3)J(n-1)]
给出一个n以此递推并由J1=(1/a)*arctan(x/a)+C即可得Jn.
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