在平面直角坐标系xoy中,已知c:x^2/3+y^2=1,斜率为k(k>0)且不过原点的直线L交椭圆c于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D(-3,M)
(1)求M^2+K^2的最小值;
(2)若OG^2=OD*OE,求证:直线L过定点;
(1)、设L为:y=kx+b (b≠0) 则有:
x^2+3y^2=3 即:x^2+3(kx+b)^2=3
所以有:xA+xB=-6kb/(1+3k^2),yA+yB=2b/(1+3k^2)
射线OE交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D(-3,M)
可得:
(yA+yB)/(xA+xB)=M/(-3)
得:kM=1
M^2+K^2≥2kM=2
所以:M^2+K^2的最小值为2.
(2)、易得:射线OE的方程为:y=-x/3k
得:x^2+x^2/3k^2=3 得:xG^2=9k^2/(1+3k^2)
yG^2=1/(1+3k^2)
则:OG^2=xG^2+yG^2=(9k^2+1)/(1+3k^2)
可得:点D为(-3,1/k)所以:OD^2=9+1/k^2=(9k^2+1)/k^2
即:OD=√ (9k^2+1)/k
根据(1)计算结果可得:OE=b√ (9k^2+1)/(1+3k^2)
因:OG^2=OD*OE, 所以:
(9k^2+1)/(1+3k^2)=(√ (9k^2+1)/k)[b√ (9k^2+1)/(1+3k^2)]
得:b/k=1
又L为:y=kx+b (b≠0) 则有:当y=0时,x=-b/k=-1
所以,直线过定点(-1,0)
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