请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，

请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及[PG/PC]的值．

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及[PG/PC]的值；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；

（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，

原问题中的其他条件不变，请你直接写出[PG/PC]的值（用含α的式子表示）．

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1个回答

解题思路：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；

（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°-α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α）．

（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，

∴△DPH≌△FGP，

∴PH=PG，DH=GF，

∵CD=BC，GF=GB=DH，

∴CH=CG，

∴CP⊥HG，∠ABC=60°，

∴∠DCG=120°，

∴∠PCG=60°，

∴PG：PC=tan60°=

3，

∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，[PG/PC]=

3；

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，

∵P是线段DF的中点，

∴FP=DP，

∵AD∥GF，

∴∠HDP=∠GFP，

∵∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP（ASA），

∴GP=HP，GF=HD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，

∴∠GBF=60°，

∴∠HDC=∠GBF，

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF=GB，

∴HD=GB，

∴△HDC≌△GBC，

∴CH=CG，∠HCD=∠GCB

∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）

∵∠ABC=60°

∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°

∵∠HCG=∠HCB+∠GCB

∴∠HCG=120°

∴∠GCP=60°

∴[PG/PC]=tan∠GCP=tan60°=

3；

（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），

∴∠PCG=90°-α，

由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α），

∴[PG/PC]=tan（90°-α）．

点评：

本题考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用．

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