以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABEF和ACGH,过A点作直线分别BC,FH于D,M,求证;
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过F作FN⊥DB,交DB延长线于N,则FN//AD

作AP⊥FN,交FN于P,∠PAD=90°

∵ ∠FAP+∠PAB=90°=∠PAB+∠BAD

∴ ∠FAP=∠BAD

∴ RtΔABD∽RtΔAPF

又,AF=AB,RtΔABD≌RtΔAPF

∴ AP=AD,四边形APND是正方形

延长HA交FN于Q,则AQ⊥AC

∵ ∠QAP+∠QAD=∠DAC+∠DAQ=90°

∴ ∠PAQ=∠CAD

又,AP=AD

∴ RtΔAPQ≌RtΔADC

∴ AQ=AC,又AH=AC

∴ AQ=AH,A为HQ中点

∵ FQ//AD,即FQ//AM

所以,AM是三角形HFQ的中位线

M是FH中点

(2)若AD平分BC,则AD垂直FH.

∵AF=FH

∴△AFH是等腰三角形

AM是三角形中线

∴AD⊥FH

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