已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x 0 ，使得f（x 0 +1）=f（x 0 ）+f（1）
1个回答
（1）对于函数f（x）=
1
x ，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
则存在非零实数x 0，使得
1
x 0 +1 =
1
x 0 +1，即 x 0 2 +x 0+1=0，显然此方程无实数解，
∴f（x）∉M；
函数g（x）=x 2，D=R，若g（x）∈M成立，
则有 (x 0 +1) 2 = x 0 2 +1，解得x 0=0，
∴g（x）∈M；
（2）由条件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
存在实数x 0，使得lg
a
(x 0 +1) 2 +1 =lg
a
x 0 2 +1 +lg
a
2 ，
∴
a
(x 0 +1) 2 +1 =
a
x 0 2 +1 •
a
2 ，
化简得：（a-2） x 0 2 +2ax 0+2a-2=0，
当a=2时，x 0=-
1
2 ，符号题意；
当a≠2时，由△≥0得：4a 2-4（a-2）（2a-2）≥0，
即3-
5 ≤a≤3+
5 （a≠2），
综上所述，a的取值范围是[3-
5 ，3+
5 ]．
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