已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做
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解题思路：（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得；
（2）根据切线的性质，将所求AF，BP转化为直角△FOP的斜边FP，再由直角三角形的性质OE2=EF•EP，即可求得；
（3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的长．
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切线
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA，PE=PB
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6；
（2）连接OE，
∵PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中
∵AO=EO，OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP
∴∠EOF+∠EOP=[1/2×180°=90°，∠FOP=90°
即OF⊥OP
∴AF•BP=EF•PE=OE2=1；
（3）存在．
当∠G=30°时．∠GFD=60°．
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF
∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG
此时∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB•tan60°=
3]．
点评：
本题考点： 切线的性质；直角三角形全等的判定；相似三角形的判定．
考点点评： 此题将正方形与圆结合，考查了切线的性质和相似三角形的判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．并多次运用直角三角形的性质，综合性强．
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