（2010•江西）证明以下命题：
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解题思路：（1）要证a2，b2，c2成等差数列，考虑到结构即要证a2+c2=2b2，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．
（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．
解（1）考虑到结构特征，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）证明：当an2，bn2，cn2成等差数列，则bn2-an2=cn2-bn2，
分解得：（bn+an）（bn-an）=（cn+bn）（cn-bn）
选取关于n的一个多项式，4n（n2-1）做两种途径的分解4n（n2-1）=（2n-2）（2n2+2n）=（2n2-2n）（2n+2）4n（n2-1）
对比目标式，构造
an＝n2−2n−1
bn＝n2+1
cn＝n2+2n−1(n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例
m2−2m−1
n2−2n−1＝
m2+1
n2+1＝
m2+2m−1
n2+2n−1，
由比例的性质得：
m−1
n−1＝
m+1
n+1⇒m＝n，与约定不同的值矛盾，故互不相似．
点评：
本题考点： 等比关系的确定；等差关系的确定．
考点点评： 作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力．考查学生对等比关系和等差关系确定的能力．
