设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1且对应的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩阵A
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因为对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交

所以若设属于特征值 -1 的特征向量为 (x1,x2,x3)^T

则有 x1+x2+x3=0

2x1+2x2+x3=0

方程组的基础解系为 ζ3=(1,-1,0)^T

所以属于特征值 -1 的特征向量为 c(1,-1,0)^T,c为非零常数.

令P=

1 2 1

1 2 -1

1 1 0

则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,1,-1)

所以有 A = Pdiag(1,1,-1)P^-1 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

注:为避免求P的逆,可将特征值1的特征向量正交化,之后将3个向量单位化

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