解题思路：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）（i）把点Pn和Pn+1代入抛物线方程，进而可得xn2=4（yn+1），①xn+12=4（yn+1+1）②，进而表示出直线的斜率代入后求得xn+1+xn=[1
2
n−2
代入bn=x2n+1-x2n-1，根据等比数列的定义推断出该数列为等比数列．
（ii）根据等比数列的求和公式求得Sn，进而可求得
3/4]Sn+1=
1
4
n
，问题转化为比较4n与3n+10的大小，根据二项式定理，进而看n=1，2时也符合，最后综合原式得解．
（Ⅰ）∵动圆与直线y=-3相切，并与定圆x2+y2=1相内切，
∴P到原点的距离等于P到直线y=-2的距离，由抛物线定义可知，P的轨迹是以原点为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为x2=4（y+1）；
（Ⅱ）（i）设Pn（xn，yn）、Pn+1（xn+1，yn+1）在抛物线上，故xn2=4（yn+1），①xn+12=4（yn+1+1）②，又因为直线PnPn+1的斜率为[1
2n，可得xn+1+xn=
1
2n−2
∴bn=x2n+1-x2n-1=（x2n+1+x2n）-（x2n+x2n-1）=
1
22n−2-
1
22n−3=-
1
22n−2，
故数列{bn}是以-1为首项，以
1/4]为公比的等比数列；
（ii）bn=-[1
22n−2，∴Sn=-
4/3]（1-[1
4n），
∴
3/4]Sn+1=[1
4n，
故只要比较4n与3n+10的大小．
4n=（1+3）n=1+
C1n•3+
C2n•32+…+
Cnn•3n＞1+3n+
n(n−1)/2•9＞1+3n+9=3n+10（n≥3），
当n=1时，
3
4]Sn+1＞[1/3n+10]；
当n=2时，[3/4]Sn+1=[1/3n+10]；
当n≥3，n∈N*时，[3/4]Sn+1＜[1/3n+10]．
点评：
本题考点： 数学归纳法；轨迹方程．
考点点评： 本题主要考查了等比关系的确定，不等式的应用，二项式定理，考查了学生综合分析问题的能力．
1年前
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