设四点A、B、C、D均在双曲线x2-y2=1的右支上．
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解题思路：（1）据两向量共线的充要条件得两向量共线，据两线平行斜率相等，设出直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理代入得证．（2）利用弦长公式得到斜率与截距的关系，据四边形为两个三角形面积的和表示出面积，转化为求函数的最大值．
（1）∵
AB=λ
CD，∴
AB∥
CD
①直线AB的斜率不存在时，
设方程为x=m（|m|＞1），
设A（m，y1），则B（m，-y1）且m2-y12=1
∴
OA•
OB=m2-y12=1同理
OC•
OD＝1
∴
OA•
OB=
OC•
OD
②直线AB斜率存在时，设方程为y=kx+b
与x2-y2=1联立得（1-k2）x2-2kbx-b2-1=0
设A（x1，y1）B（x2，y2）则x1+x2=
2kb
1−k2，x1x2=
b2+1
k2−1
则
OA•
OB=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=
k2+1
k2−1
∵AB∥CD∴直线CD与直线AB斜率相等，同理
OC•
OD＝
k2+1
k2−1
∴
OA•
OB=
OC•
OD综上，
OA•
OB=
OC•
OD
（2）AB斜率存在时，4=|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]
由（1）②得b2＝
2k2(k2−1)
1+k2∵x1•x2＞0∴k2＞1，设P（x0，y0），则x0=
1
2(x1+x2)=
kb
1−k2y0=kx0+b=
b
1−k2∴S=
|x0−y0|
2•
|x0+y0|
2=
1
2•
b2
k2−1=1−
1
1+k2
∵k2＞1∴
1
2＜S＜1；AB斜率不存在时，易得S=1
综上，四边形OMPN面积的最大值为1．
点评：
本题考点： 平行向量与共线向量；直线与圆锥曲线的综合问题．
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