如图，F为双曲线C： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于
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（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，
∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×
a 2
c ，
又e=
|PF|
|PH| =
λ|OF|
c-2
a 2
c =
λc
c-2
a 2
c =
λ c 2
c 2 -2 a 2 =
λ e 2
e 2 -2 ，e 2-λe-2=0．
（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b 2=3a 2，双曲线为
x 2
a 2 -
y 2
3 a 2 =1且平行四边形OFPM是菱形，
由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为
PD
OD =
C 2 -
a 4
C 2
c-
a 2
c =
15
3 ，则直线AB的方程为y=
15
3 （x-2a），代入到双曲线方程得：
4x 2+20ax-29a 2=0，又|AB|=12，
由|AB|=
1+ k 2
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ，
得：12=
8
3
(5a) 2 +4×
29 a 2
4 ，
解得a=1，
则b 2=3，
所以x 2-
y 2
3 =1为所求．
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