已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜
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解题思路：设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（-x1，-y1），从而得到k1k2=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
•
y
2
+
y
1
x
2
+
x
1
=
y
2
2
−
y
1
2
x
2
2
−
x
1
2
，利用点差法能推导出
2
k
1
k
2
+ln|k1|+ln|k2|=
2
k
1
k
2
+ln(
k
1
k
2
)
，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．
设A（x1，y1），C（x2，y2），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线
x2
a2-
y2
b2=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x1，-y1），k1＝
y2−y1
x2−x1，k2＝
y2+y1
x2+x1，
∴k1k2=
y2−y1
x2−x1•
y2+y1
x2+x1=
y22−y12
x22−x12，
∵点A，C都在双曲线上，
∴
x12
a2−
y12
b2＝1，
x22
a2−
y22
b2＝1，
两式相减，得：
x12−x22
a2−
y12−y22
b2＝0，
∴k1k2=
y12−y22
x12−x22=
b2
a2＞0，
∴
2
k1k2+ln|k1|+ln|k2|=
2
k1k2+ln(k1k2)，
对于函数y=
2/x+lnx，(x＞0)，
由y′＝−
2
x2+
1
x]=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2时，y′＝−
2
x2+
1
x＞0，
0＜x＜2时，y′＝−
2
x2+
1
x＜0，
∴当x=2时，函数y=[2/x]+lnx（x＞0）取得最小值，
∴当
2
k1k2+ln|k1|+ln|k2|最小时，k1k2＝
b2
a2＝2，
∴e=
1+
b2
a2=
3．
故选：B．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．
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