(2012•锦州)已知:在△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D
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考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

专题:证明题;压轴题.

分析:(1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据正方形的性质可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠ACF+∠ACB=90°,从而得证;②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF,从而求出CF=BC-CD;

(2)与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=BC+CD;

(3)①与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=CD-BC;②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°,再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠FCD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=1 /2DF,再根据正方形的对角线相等求出OC=OA,从而得到△AOC是等腰三角形.

(1)证明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵四边形ADEF是正方形,

∴AD=AF,∠DAF=90°,

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°,

∴∠BAD=∠CAF,

在△BAD和△CAF中,

AB=AC

∠BAD=∠CAF

AD=AF

,

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴∠ACF=∠ABD=45°,

∴∠ACF+∠ACB=90°,

∴BD⊥CF;

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,

∵BD=BC-CD,

∴CF=BC-CD;

(2)与(1)同理可得BD=CF,

所以,CF=BC+CD;

(3)①与(1)同理可得,BD=CF,

所以,CF=CD-BC;

②∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

则∠ABD=180°-45°=135°,

∵四边形ADEF是正方形,

∴AD=AF,∠DAF=90°,

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,

∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,

∴∠BAD=∠CAF,

在△BAD和△CAF中,

AB=AC

∠BAD=∠CAF

AD=AF

,

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°,

∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,

则△FCD为直角三角形,

∵正方形ADEF中,O为DF中点,

∴OC=1 /2 DF,

∵在正方形ADEF中,OA=1/ 2 AE,AE=DF,

∴OC=OA,

∴△AOC是等腰三角形.