棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，O为面ABCD的中心．

棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，O为面ABCD的中心．

（1）求证：AC1⊥平面B1CD1；

（2）求四面体OBC1D1的体积；

（3）线段AC上是否存在P点（不与A点重合），使得A1P∥面CC1D1D？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．

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解题思路：（1）利用正方体的性质可得AB⊥B1C，由正方形的性质可得B1C⊥BC1．再利用线面垂直的判定可得B1C⊥AC1，同理可得AC1⊥CD1，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2））由CC1∥平面BB1D1D，可得点C1到平面BOD1的距离与点C到此平面的距离相等，利用“等体积变形”即可得到∴

V

四面体OB

C

1

D

1

=

V

C

1

−BO

D

1

=

V

C−BO

D

1

，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

（3）利用面面平行的性质即可得出结论．

（1）证明：由正方体可得AB⊥平面BCC1B1，

∴AB⊥B1C．

由正方形BCC1B1可得B1C⊥BC1．

而AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，

∴B1C⊥AC1．

同理可证，CD1⊥AC1，

又CB1∩CD1=C，∴AC1⊥平面B1CD1；

（2）∵CC1∥平面BB1D1D，∴点C1到平面BOD1的距离与点C到此平面的距离相等，

∴V四面体OBC1D1=VC1−BOD1=VC−BOD1=[1/3S△BOD1×OC=

1

3×

1

2×

2a

2×a×

2a

2]=

a3

12．

（3）由正方体可得平面ABB1A1∥平面CC1D1D，故过点A1与平面CC1D1D平行的直线只能在平面ABB1A1内，

因此在线段AC上除了点A外不存在其它点P，使得A1P∥面CC1D1D．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的性质定理、“等体积变形”、三棱锥的体积计算公式、面面平行的性质定理是解题的结论．

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