讨论函数f（x）=ax1−x2（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．
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解题思路：首先，在（-1，1）上任意取值，再作差、变形，然后，根据式子的特点，对a进行分类讨论判断符号、下结论．
当a＞0时，f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）在（-1，1）上不具有单调性．
证明如下：
设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
ax1
1−x12−
ax2
1−x22＝
a(x2−x1)(x1x2+1)
(x22−1)(x12−1)，
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1x2+1＞0，x2-x1＞0，x12−1＜0，x22−1＜0
∴
(x1 x2+1)(x2−x1)
(x22−1)(x12−1)＞0，
∴当a＞0时，f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有单调性．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形，直到能明显的判断出符号为止，本题属于中档题，注意分类讨论思想在解题中的灵活运用．
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