已知函数f（x）= a a 2 -1 （a x -a -x ），（a＞0且a≠1）．

已知函数f（x）=

a

a

2

-1

（a x-a -x），（a＞0且a≠1）．

（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；

（2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m 2）＜0成立的实数m的取值范围．

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1个回答

（1）函数f（x）在R上为增函数．

证明如下：设x 1，x 2∈R，且x 1＜x 2，

则f（x 1）-f（x 2）=

a

a 2 -1 [（a x 1 -a -x 1 ）-（a x 2 -a -x 2 ）]=

a

a 2 -1 ( a x 1 - a x 2 )(1+

1

a x 1 a x 2 ) ，

当a＞1时，a 2-1＞0，a x 1 -a x 2 ＜0，

∴f（x 1）＜f（x 2）；

当0＜a＜1时，a 2-1＜0，a x 1 -a x 2 ＞0，

∴f（x 1）＜f（x 2）；

∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；

（2）∵f（x）定义域为（-1，1），在数轴上关于原点对称，…（8分）

又∵ f(-x)=

a

a 2 -1 ( a -x - a x ) = -

a

a 2 -1 ( a x - a -x ) =-f（x），

∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数．…（10分）

由f（1-m）+f（1-m 2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m 2），∴f（1-m）＜f（m 2-1），…（12分）

∴

-1＜1-m＜1

-1＜1- m 2 ＜1

1-m＜ m 2 -1 ，…（14分）

解得 1＜m＜

2 即为所求m的取值范围．…（15分）

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