（2009•襄阳模拟）己知a≠0，函数f（x）=x3+ax2-a2x-1，二次函数g（x）=ax2-x-1．
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解题思路：（1）先求出导函数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）根据函数y=f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，可求出a的范围，根据a的范围求出y=g（x）在区间[-1，0）上的最小值为h（a）即可．
（3）讨论a的正负，根据函数y=f（x）与y=g（x）的单调增区间是区间 （a-2，a）的子集建立方程组，解之即可；
（1）f′（x）=3x2+2ax-a2=3（x-[a/3]）（x+a）
∵a＜0，
∴[a/3]＜-a
故函数f （x）在区间（-∞，[a/3]）、（-a，+∞）上单调递增，在（[a/3]，-a）上单调递减（4分）
（2）∵二次函数g（x）=ax2-x-1有最大值，
∴a＜0（5分）
由f（x）=g（x）得：x（x2-a2+1）=0（6分）
∵函数y=f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，
∴-a2+1≥0得-1≤a≤1，又a＜0，
∴-1≤a＜0（8分）
又g（x）=a(x−
1
2a)2-[1/4a]-1，
∴h（a）=-[1/4a]-1（-1≤a＜0）（10分）
（3）当a＜0时，函数f （x）在区间（-∞，[a/3]）、（-a，+∞）上单调递增，
函数g （x）在区间（-∞，[1/2a]）上单调递增
∴
a≤
a
3
a≤
1
2a得a≤-
2
2（12分）
当a＞0时，函数f （x）在区间（-∞，-a）、（[a/3]，+∞）上单调递增，
函数g （x）在区间（[1/2a]，+∞）上单调递增
∴
点评：
本题考点： 函数最值的应用．
考点点评： 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及图象交点的问题，常常转化成方程根的个数，属于中档题．
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