已知函数f（x）=lnx，g（x）=[1/2]x2+mx+[7/2]（m＜0），
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解题思路：（I）利用导数的几何意义求相应的切线方程及m的值；
（Ⅱ）利用函数的最值和导数之间的关系求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用作差法证明不等式．
（Ⅰ）依题意知，直线l是函数f（x）=lnx在（1，0）处的切线方程，故其斜率k=f'（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，所以由
y＝x−1
y＝
1
2x2+mx+
7
2，得[1/2x2+(m−1)x+
9
2＝0，
得△=（m-1）2-9=0，解得m=-2或m=4（舍去）．
（Ⅱ）因为h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x-m，（x＞-1），
所以h′(x)＝
1
x+1−1＝−
x
x+1]，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，
当x＞0时，h'（x）＜0，此时函数单调递减，
因此，当x=0时，函数h（x）取得最大值h（0）=-m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，取m=-1，
当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜b时，−1＜
a−b
2b＜0．
因此有f（a+b）-f（2b）=ln[a+b/2b＝ln(1+
a−b
2b)＜
a−b
2b]．
所以不等式成立．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查函数的性质和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．
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