已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相
1个回答
解题思路：（1）利用“3个二次”的关系即可得出；
（2）不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值．
（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax2+（b-1）x+c=0的△=（b-1）2-4ac=0．
联立
a+b+c−2＝0
16a+4b+c−8＝0
(b−1)2−4ac＝0
a＞0，解得
a＝1
b＝−3
c＝4．
∴f（x）=x2-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立⇔m＜
f(x)
x＝x+
4
x−3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+
4
x−3(x＞1)，则g(x)≥2
x•
4
x−3＝4−3＝1，当且仅当x=2时取等号．
∴m＜1．
点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．
考点点评： 解本题的关键是根据一元二次不等式的解集得到对应方程的根，对于不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值得到．
相关问题
