已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2+y2−4x−2y+52＝0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为
1个回答
解题思路：先根据圆的方程配方得出圆心坐标和直径，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
圆（x-2）2+（y-1）2=[5/2]，直径AB=
10
设椭圆：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（2，1）
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
AB斜率为−
1
2，∴KAB=
y 1−y 2
x 1−x 2＝−
1
2
由
x21
a2+
y21
b2＝1
x22
a2+
y22
b2＝1⇒
y21−
y22
b2＝−
x21−
x22
a2⇒kAB＝
y1−y2
x1−x2＝−
b2
a2•
2
1＝−
1
2⇒a2＝4b2
将直线AB的方程y=-[1/2]x+2，代入椭圆方程得：x2+4y2-4b2=0
∴x1+x2=4，x1x2=8-2b2，
|AB|=
1+k 2|x1-x2|，∴10=（1+[1/4]）2[42-4（8-2b2）]
解得：a2=12，b2=3，
故椭圆的方程为：
x2
12+
y2
3=1．
点评：
本题考点： 椭圆的标准方程．
考点点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．
相关问题
