∵f(x)=x²+2x+3=（x+1）2+2≥2
∴设t= f(x),则 t ≥ 2 ,
又 根据题意,方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0有实数根,
也就是关于t 的方程at²+bt+c=0有实数根,
而 t ≥ 2,
∴ 关于t 的方程at²+bt+c=0有不小于2的实数根,
① 若只有一个不小于2的实数根 t0 ,那么
原方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0的实数根必满足
(f(x)= t0 ,即满足x²+2x+3= t0 ,因此：
⑴ 当 t0=2时 ,方程x²+2x+3= t0 只有一个实数根
—1,也就是原方程的实数根只有一个x=—1;
⑵ 当t0＞2时,方程x²+2x+3= t0 有两个不等实数根
X1,X 2 且 X1+X 2=—2,也就是原方程的两个不等
实数根之和为—2
② 若有两个不小于2的不等实数根 t1 ,t2,那么
原方程a(f(x))²+b(f(x))+c=0的实数根必满足
f(x)= t1 或 f(x)= t2,
即满足x²+2x+3= t1 或 x²+2x+3= t2,而t1 ,t2中
最多只有一个等于2 ,因此：
⑴ 当 t1 ,t2中恰有一个等于2 时 ,由①的分析知
方程x²+2x+3= t1 与 x²+2x+3= t2 共有三个实数根
且三根之和为—3,也就是原方程的三个实根之和为—3;
⑵当t1,t2都大于2 时,由①的分析知方程x²+2x+3= t1
与 x²+2x+3= t2 共有四个实数根,且四根之和为—4,
也就是原方程的三个实根之和为—4.
综上所述,原方程的不同实数根的和的所有可能值是
—1,—2 ,—3 ,—4
第二题：显然题目错了,因为当 x≥1+a 时,
f(x)=—x²+2（1+a）x-|x-2|+4 的值不可能非负.
也许题目是这样的?
“若对于任意实数x,函数f(x)=x²-2x|x-1-a|-|x-2|+4的值均为非负,则实数a的最小值为?”其中第一个绝对值前的“ 2x”是“2乘以”?
如此解答如下：
因为当f(x)=x²-2|x-1-a|-|x-2|+4的值非负,
所以x∈R 时,x²- |x-2| +4≥2|x-1-a|恒成立,
设 ：h(x)=2 |x-1-a | ,则其图像是顶点（1+a,0）在x轴上移动的斜率为±2的V形曲线,
再设g(x)=x²-|x-2|+4 ,则x≥2 时g(x)=x²-x+6 ； x＜2时g(x)=x²+x+2
如图,由数形结合可知,只需找x＜2时g(x)=x²+x+2的切线,
由g′(x)=±2 得x =1/2或 x=-3/2,
x =1/2时切线方程为y=2 x +1.75,(可以验证此时g(x) ≥2 x +1.75),令 y=0 得 x=-0.875 即 ：1+a=-0.875,于是h(x)=2 |x+0.875 | ;
x =-3/2时切线方程为y=-2 x -0.25,令 y=0 得 x=-0.125
即 1+a=-0.125; 故 a 的最小值是-1.875.
（不好意思,我今天画不了图,请自己画出两个函数图像和这两个V形）
