a>b>c,n∈N*,且[1/a−b+1b−c≥na−c]恒成立,则n的最大值为 ______.
1个回答

解题思路:将不等式变形分离出n,不等式恒成立即n大于等于右边的最小值;由于a-c=a-b+b-c,凑出两个正数的积是常数,利用基本不等式求出最小值.

[1/a−b+

1

b−c≥

n

a−c]恒成立

即n≤

a−c

a−b+

a−c

b−c恒成立

只要n≤(

a−c

a−b+

a−c

b−c)最小值

∵[a−c/a−b+

a−c

b−c=

a−b+b−c

a−b+

a−b+b−c

b−c]

=2+[b−c/a−b+

a−b

b−c]

∵a>b>c

∴a-b>0,b-c>0

∴[b−c/a−b+

a−b

b−c]≥2

b−c

a−b•

a−b

b−c=2

∴(

a−c

a−b+

a−c

b−c)≥4

∴(

a−c

a−b+

a−c

b−c)最小值为4

故答案为4.

点评:

本题考点: 基本不等式.

考点点评: 本题考查利用基本不等式求函数的最值要注意满足:一正、二定、三相等.凑定值是难点.