(2007•福建)已知对任意x∈R,恒有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时有( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
解题思路:由已知对任意x∈R,恒有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又由当x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,可得在区间(0,+∞)上f(x),g(x)均为增函数,然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案.
由f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
又x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,
知在区间(0,+∞)上f(x),g(x)均为增函数
由奇、偶函数的性质知,
在区间(-∞,0)上f(x)为增函数,g(x)为减函数
则当x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0.
故选B
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;导数的几何意义.
考点点评: 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点,故要熟练掌握.
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