已知函数f（x）=x2+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．
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解题思路：（1）g（x）≤f（x）即x2+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，利用△≤0求出即可．
（2）考虑将m分离，转化为求相应函数的最值．
（1）证明，由已知，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，
所以△=（b-2）2-4（c-b）≤0，c≥
b2+4
4≥1
（2）c≥
b2+4
4≥2
b2
4×1=b，
①当c=b时，c2-b2=0，f（c）-f（b）=0，m∈R
②当c＞b时，有m≥
f(c)−f(b)＝
c2−b2=
c2−b2+bc−b2
c2−b2=[c+2b/b+c]，令t=[b/c]，则0＜t＜1
[c+2b/b+c]=
1+2•
b
c
b
c+1=[1+2t/t+1]=2−
1
1+t，而函数h（t）=2−
1
1+t（0＜t＜1）是增函数，
所以函数h（t）的值域为（1，[3/2]），则m的取值范围是[[3/2]，+∞）
综上所述，m的取值范围是[[3/2]，+∞）．
点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查不等式恒成立，二次函数的性质，分离参数的思想方法．
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