四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求证SD⊥平面SAB
过D作DE∥CB交AB于E.
∵EB∥DC、DE∥CB,∴BCDE是平行四边形,∴DE=CB=2、BE=CD=1.
由AB=2、BE=1,得:AE=BE=1.
∵EB∥DC、BC⊥CD,∴EB⊥BC,又DE∥CB,∴AE⊥ED,而AE=BE,∴BD=DA.
∵△SAB是等边三角形,∴AS=BS=AB,而AB=BC,∴BS=BC=AS.
由BS=AS=BC、BD=DA=BD、CD=SD=SD,得:△BSD≌△ASD≌△BCD,
∴∠BSD=∠ASD=∠BCD=90°,∴SD⊥AS、SD⊥BS,而AS∩BS=S,∴SD⊥平面SAB.
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