四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.求证SD⊥平面SA

四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.求证SD⊥平面SAB

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过D作DE∥CB交AB于E.

∵EB∥DC、DE∥CB,∴BCDE是平行四边形,∴DE＝CB＝2、BE＝CD＝1.

由AB＝2、BE＝1,得：AE＝BE＝1.

∵EB∥DC、BC⊥CD,∴EB⊥BC,又DE∥CB,∴AE⊥ED,而AE＝BE,∴BD＝DA.

∵△SAB是等边三角形,∴AS＝BS＝AB,而AB＝BC,∴BS＝BC＝AS.

由BS＝AS＝BC、BD＝DA＝BD、CD＝SD＝SD,得：△BSD≌△ASD≌△BCD,

∴∠BSD＝∠ASD＝∠BCD＝90°,∴SD⊥AS、SD⊥BS,而AS∩BS＝S,∴SD⊥平面SAB.

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