如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，连接OB、OD．已知∠A=30°，
1个回答

（1）∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠AOB=90°-∠A=60°，

∵DC⊥OA，

∴CD是⊙O的切线，

∴∠BOD=

1

2 ∠AOB=30°，

∵⊙O的半径为4，

即OB=4，

∴BD=OB•tan∠BOD=4×

3

3 =

4

3

3 ；

（2）∵在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，

∴AB=

OB

tan∠A =4

3 ，

∴AD=AB-BD=

8

3

3 ，

∵DC⊥OA，

∴CD=

1

2 AD=

4

3

3 ，

∴AC=

A D 2 -C D 2 =4，

∴S 阴影=S △AOB-S △ACD-S 扇形OBC=

1

2 ×4×4

3 -

1

2 ×4×

4

3

3 -

60×π× 4 2

360 =

16

3

3 -

8

3 π．

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