（1）设抛物线的方程为y 2=4px，则其焦点为（p，0）
与直线方程4x+y-20=0联立，有：（-4x+20） 2=4px
∴4x 2-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
该方程的解为B，C两点的坐标（x 2，y 2），（x 3，y 3）
x 2+x 3=
p+40
4 （1）
y 2+y 3=-4（x 2+x 3）+40=-p （2）
设A（x 1，y 1）
∵A在抛物线上
∴y 1 2=4px 1（3）
△ABC重心坐标为：（
x 1 + x 2 + x 3
3 ，
y 1 + y 2 + y 3
3 ）
∵重心为抛物线焦点
∴
x 1 + x 2 + x 3
3 =p，
y 1 + y 2 + y 3
3 =0
将（1），（2）代入，得：
x1+
p+40
4 =3p，y 1-p=0
与（3）联立，三个方程，x 1，y 1，p三个未知数，可解
解得：p=4
故抛物线的方程为y 2=16x．
（2）设点M（a，b） P（x 4，y 4） Q（x 5，y 5）
①当直线L的斜率不存在时 即 x 4=x 5=a 且 a＞0
则：令 y 4=4
a ，y 5=-4
a
∵∠POQ=90°∵
OQ =（a，-4
a ）
OP =（a，4
a ）
∴
OQ •
OP =a 2-16a=0
解得：a=16 或 a=0（舍去）
②当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为：
y-b=k（x-a） （k≠0）
∴联立方程：
y-b=k(x-a)
y 2 =16x
消去x 得：ky 2-16y+16b-16ka=0
∴y 4+y 5=
16
k ，y 4×y 5=
16b-16ka
k
∴x 4×x 5=
(ka-b) 2
k 2
∵∠POQ=90°
∴
OQ •
OP =x 4×x 5+y 4×y 5=
16b-16ka
k +
(ka-b) 2
k 2 =0
即：k 2（a 2-16a）+k（16b-2ab）+b 2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组：
a 2 -16a=0
16b-2ab=0
b 2 =0 且a≠0
∴解得：a=16，b=0
∴点M（16，0）
综上所述：存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，
点M的坐标为：（16，0）
