已知函数f（x）=1nx-[1/2]ax2-x（a∈R）．
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解题思路：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=1nx-x2-x（a∈R）．求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间，继而得到f（x）的极值；
（Ⅱ）利用导数进行理解，即f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax2+x-1＞0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围．
（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=1nx-x2-x，其定义域为（0，+∞），
∴函数f′（x）=[1/x]-2x-1=-
(x+1)(2x−1)
x．
令f′（x）＜0，则x＞
1
2．
令f′（x）＞0，则0＜x＜
1
2．
则函数f（x）在（0，[1/2]）上单调递增，在（[1/2]，+∞）上单调递减，
函数f（x）在x=[1/2]处取得极大值-[3/4]-ln2；
（Ⅱ）对函数求导数，得f′（x）=-
ax2+x−1
x，（x＞0）
依题意，得f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即ax2+x-1＞0在x＞0时有解．
①当a=0时，x＞1在（0，+∞）上有解．
②当a＞0时，ax2+x-1＞0在（0，+∞）上总有解．
③当a＜0时，x＞1在（0，+∞）上有解．
则△=1+4a＞0且方程ax2+x-1=0至少有一个正根．
∴-[1/4]＜a＜0，
综上，a的取值范围为（-[1/4]，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．
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